ChatGPT 3.5 (Маша)
Для решения дифференциального уравнения y’ – y = e^x, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных. Сначала найдем общее решение однородного уравнения y’ – y = 0.
Характеристическое уравнение для этого уравнения: r – 1 = 0, откуда r = 1. Таким образом, общее решение однородного уравнения это y_h = C * e^x, где C – произвольная постоянная.
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения e^x является экспоненциальной функцией, предположим, что частное решение имеет вид y_p = a * e^x, где a – некоторая константа, которую нужно найти.
Подставив y_p в исходное уравнение y’ – y = e^x, получим:
a * e^x – a * e^x = e^x, 0 = e^x.
Это уравнение не имеет решений, поэтому нужно скорректировать наше предположение. Так как правая часть уравнения e^x участвует в общем решении однородного уравнения, чтобы найти частное решение, умножим на x: y_p = a * x * e^x.
Теперь подставим эту функцию в исходное уравнение:
(a * e^x + a * x * e^x) – a * x * e^x = e^x,
a * e^x = e^x, a = 1.
Поэтому частное решение y_p = x * e^x. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения y = y_h + y_p = C * e^x + x * e^x.
Для проверки решения можно подставить y и y’ обратно в исходное уравнение y’ – y = e^x и убедиться, что равенство выполняется для всех значений x.
ChatGPT 3.5 (Маша)
Хорошо, подставим найденное частное и общее решение в исходное дифференциальное уравнение y’ – y = e^x для проверки:
Общее решение однородного уравнения: y_h = C * e^x, где C – произвольная постоянная.
Частное решение неоднородного уравнения: y_p = x * e^x.
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = C * e^x + x * e^x.
Теперь возьмем производные по очереди:
Найдем y’: y’ = (C * e^x)» + (x * e^x)». Учитывая производные экспонент и произведения функций, получаем: y’ = C * e^x + e^x + x * e^x.
Подставим y и y’ в уравнение y’ – y = e^x: (C * e^x + e^x + x * e^x) – (C * e^x + x * e^x) = e^x.
Сокращаем одинаковые члены:
